MATEMÁTICAS-MÓDULO: COMUNICACIÓN, CULTURA Y AUTONOMÍA

 

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  MATEMÁTICA

 

Si estas visitando este módulo de seguro aprobaste los campos de contenidos del módulo de ciudadanía. Allí en matemática trabajaste con operaciones con números enteros; Suma, resta multiplicación, división y sumas algebraicas.

En esta oportunidad iniciaremos el estudio de matemática del módulo de comunicación con las operaciones de potenciación, radicación y sus respectivas propiedades de números enteros.

Comencemos Éxitos …

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

La potenciación expresa una multiplicación de factores iguales y su resultado se denomina potencia. En una potencia distinguimos dos partes: la base (número que se repite) y el exponente (número de veces que se debe multiplicar la base).

 

Ejemplos:

a) Si la potencia es un cuadrado se multiplica el número (la base) por sí mismo 2 veces.

4² = 4 . 4 = 16

donde:

-La base es el número (4)

-El exponente es el número 2

-La potencia es el número 16               

 

Con la practica podemos calcular las potencias de manera directamente:

b)  4³ = 64                                                              porque: 4.4.4= 64 

c)  5³ = 125                                                               porque: 5.5.5 = 125

d) 3⁵ = 243

 e)  0² = 0

Al no haber paréntesis. El signo menos no está elevado al cuadrado.

 f)  5⁰ = 1   Caso especial: Todo número elevado a las cero potencias es igual a uno

Potencia con base negativa.

a)   (-3)² =  (-3). (-3) = 9           No confundir con la siguiente potencia: -3² = - (3.3) = -9

                        “Importante como podemos ver (-3)²  y  -3²  No son iguales.”

b)   (-3)³ = (-3). (-3). (-3) =- 27       

c)   (-2)⁸ = 256

d)   (-2)⁹ = -512

 

SIGNO DE LAS POTENCIACIÓN: 

Si la base y el exponente de una potencia son positivos el resultado siempre es positivo.

  Ejemplo:   4³ = 6

Si la base es negativa y el exponente es PAR el resultado siempre es POSITIVO.

  Ejemplo:   (-2)⁴ = 16

 

Si la base es negativa y el exponente es IMPAR el resultado siempre es NEGATIVO.

  Ejemplo:   (-3)³= - 27

 

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

 a) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para resolver un producto de potencias de la misma base, dejamos la misma base y realizamos una suma de números enteros con los exponentes.

Ejemplos: a) 3²· 3³ = 3²⁺³  = 3⁵ = 243                                            

                 b) 4 · 4² = 4¹⁺²  = 4 ³ = 64

                 c)(-2)⁰ · (-2)² · (-2) · (-2)³· (-2)^-1 = (-2)^{0 + 2 + 1 + 3 + (-1)} = (-2)⁵ = (- 32)

b) COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para resolver un cociente de potencias de la misma base, dejamos la misma base y realizamos una resta de números enteros con los exponentes.

 Ejemplos: a) 5¹⁰ : 5⁸ =5^10-8 = 5 ²  = 25

                 b) (-4)⁸ : (-4)⁵ =(-4)^8-5= (-4)³ = -64              

                 c)  3¹⁵ : 3¹³ =3^15-13 = 3 ²  = 9           

c) POTENCIA DE UNA POTENCIA:

Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la base y multiplicamos los exponentes utilizando la regla de los signos.

 Ejemplo:  a) [(-2)³] ² =(-2)^3.2 = (-2)⁶ = 64

                  b) [(-1)³]⁵= (-1)^3.5= (-1)¹⁵ = -1      

 Recordar que la potenciación NO es distributiva con respecto a la suma ni la resta:

Ejemplos: a)  (4 . 5)²   = 20² = 400                                               b) (10 : 5)³= 2³ = 8

Recordar que la potenciación ES distributiva respecto a la multiplicación y a la división

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:

Ejemplos: Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:

(4·5) ²= 20² = 400

O bien podés elevar cada número por separado al exponente dado y después multiplicar los resultados:

(4·5) ² = 4 ² . 5² = 16. 25 = 400

 

 

Ejemplos:

a) Si la potencia es un cuadrado se multiplica el número (la base) por sí mismo 2 veces.

4² = 4 . 4 = 16

donde:

-La base es el número (4)

-El exponente es el número 2

-La potencia es el número 16               

 

Con la practica podemos calcular las potencias de manera directamente:

b)  4³ = 64                                                              porque: 4.4.4= 64 

c)  5³ = 125                                                               porque: 5.5.5 = 125

d) 3⁵ = 243

 e)  0² = 0

Al no haber paréntesis. El signo menos no está elevado al cuadrado.

 f)  5⁰ = 1   Caso especial: Todo número elevado a las cero potencias es igual a uno

Potencia con base negativa.

a)   (-3)² =  (-3). (-3) = 9           No confundir con la siguiente potencia: -3² = - (3.3) = -9

                        “Importante como podemos ver (-3)²  y  -3²  No son iguales.”

b)   (-3)³ = (-3). (-3). (-3) =- 27       

c)   (-2)⁸ = 256

d)   (-2)⁹ = -512

 

SIGNO DE LAS POTENCIACIÓN: 

Si la base y el exponente de una potencia son positivos el resultado siempre es positivo.

  Ejemplo:   4³ = 6

Si la base es negativa y el exponente es PAR el resultado siempre es POSITIVO.

  Ejemplo:   (-2)⁴ = 16

 

Si la base es negativa y el exponente es IMPAR el resultado siempre es NEGATIVO.

  Ejemplo:   (-3)³= - 27

 

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

 a) PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para resolver un producto de potencias de la misma base, dejamos la misma base y realizamos una suma de números enteros con los exponentes.

Ejemplos: a) 3²· 3³ = 3²⁺³  = 3⁵ = 243                                            

                 b) 4 · 4² = 4¹⁺²  = 4 ³ = 64

                 c)(-2)⁰ · (-2)² · (-2) · (-2)³· (-2)^-1 = (-2)^{0 + 2 + 1 + 3 + (-1)} = (-2)⁵ = (- 32)

b) COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para resolver un cociente de potencias de la misma base, dejamos la misma base y realizamos una resta de números enteros con los exponentes.

 Ejemplos: a) 5¹⁰ : 5⁸ =5^10-8 = 5 ²  = 25

                 b) (-4)⁸ : (-4)⁵ =(-4)^8-5= (-4)³ = -64              

                 c)  3¹⁵ : 3¹³ =3^15-13 = 3 ²  = 9           

c) POTENCIA DE UNA POTENCIA:

Para resolver la potencia de una potencia, dejamos la base y multiplicamos los exponentes utilizando la regla de los signos.

 Ejemplo:  a) [(-2)³] ² =(-2)^3.2 = (-2)⁶ = 64

                  b) [(-1)³]⁵= (-1)^3.5= (-1)¹⁵ = -1      

 Recordar que la potenciación NO es distributiva con respecto a la suma ni la resta:

Ejemplos: a)  (4 . 5)²   = 20² = 400                                               b) (10 : 5)³= 2³ = 8

Recordar que la potenciación ES distributiva respecto a la multiplicación y a la división

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo:

Ejemplos: Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:

(4·5) ²= 20² = 400

O bien podés elevar cada número por separado al exponente dado y después multiplicar los resultados:

(4·5) ² = 4 ² . 5² = 16. 25 = 400

 

RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTERO

LA RAÍZ es la operación inversa de la POTENCIACIÓN.

 

Recuerda que en el módulo de ciudadanía estudiamos ecuaciones de primer grado. Si te olvidaste te recomiendo que repases el concepto de ecuación. Para seguir trabajando con ellas, pero en esta oportunidad con potencia y raíces.   

 

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros en la que aparece por lo menos, un valor desconocido que llamamos incógnita, relacionadas por las operaciones matemáticas.

Ahora, continuaremos con el estudio de las ecuaciones de primer grado, pero en esta oportunidad con RAÍCES Y POTENCIAS:                                   RAZÓN Y PROPORCIÓN RAZÓN Y PROPORCIÓN En un examen de matemática un alumno realizo correctamente 5 ejercicios sobre un total de 8. El cociente entre el número de ejercicios resueltos y el número total de ejercicios dados se puede indicar:      Esta expresión india la razón entre el número de ejercicios resuelto y el número de ejercicios dados. PROPORCIÓN Si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es: 12 : 15 o 12/15 . Si simplificamos la fracción obtenemos: 4/5   Proporción: Dados cuatro números distintos de cero, en un cierto orden, constituye una proporción, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los dos segundos. Es decir, una proporción es la igualdad de dos razones. Dados a; b ; c y d. PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Los problemas de magnitudes proporcionales en los que, conocemos un par de elementos correspondientes y otro elemento de una de las magnitudes hay que calcular cual es el elemento que le corresponde en la otra. Se llama problemas de reglas de tres.   REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Ahora pon en practica lo aprendido 👉… Resolver los siguientes problemas de Regla de Tres Simple Directa e Inversa: a)     Si por 8 camisetas de futbol pago 12.800 pesos, ¿Cuánto pagaré por 17 de esas camisetas?   b)     Cinco obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la misma pared?   c)      Un granjero tiene granos de cereales para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si compra 3 vacas más, ¿Cuánto le durará granos de cereales?   d)     Si 200 gr de leche entera tiene aproximadamente 116 calorías ¿Cuántas calorías tiene 37 gramos?’   e)     Para realizar una excursión de alquila un micro, cuyo costo es independiente de la cantidad de pasajeros. Si viajan 35 personas cada una deberá pagar $ 12. ¿Cuánto pagar cada si el número de pasajero aumenta en 7?. Seguramente en algún momento escuchaste ahora de… PORCENTAJE La palabra porcentaje, como su indica su nombre, se refiere al número de partes que nos interesan de un total de 100 %. Muchos cálculos relacionados con porcentaje pueden ser planteados en forma de proporciones y aplicando la Regla de Tres Simple. Demuestra lo aprendido 👉...   Resolver las siguientes situaciones problemáticas: a)    a)     La cantidad de familias que hay en un pueblo son 450, de las cuales el 20% son de escasos recursos. ¿Cuántas familias del pueblo tienen mejores recursos? b)     El número de habitantes de una localidad se redujo en 2500 habitantes, lo que supuso una caída del 25%. ¿Cuántos habitantes había antes y después de esta caída? c)     c)     ¿Qué porcentaje es 15 de 60? d)     d)    Patricia quiere comprar un vestido que vale $ 10800. La tienda le hace un descuento del 15% si lo paga al contado. ¿Cuántos pagara entonces al contado? e)    e)     Se vende una computadora perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta de cierto artículo cuyo valor de compra fue de $15500.